学术意义

书信记录的日期

哈密顿在1865年8月5日写给儿子的信中回忆，自己当时一直在思考怎样给三元组定义乘法。10月16日，他和妻子沿运河前往科学院，在经过桥时把新想到的公式刻在石头上。信中又说，那道刻痕早已消失；保留下来的制度记录，是他当天向科学院理事会申请报告这项发现。

1858年10月15日给泰特的信，也把发现日期记为1843年10月16日，并记下11月13日报告。两封信是发现多年后的回忆，不是当天日记。把回忆写作日、发现日和报告日分别列出，才能解释为什么同一个事件在资料中会出现几个日期。

不可交换的乘法

实数乘法里，先算2×3还是3×2，结果相同。四元数 q=a+bi+cj+dk 使用四个实数系数；它仍有加法和乘法，但乘法不再普遍满足交换律。由基本关系可得 ij=k，而 ji=−k，调换次序便改变结果。

计算 (i+j)² 就能看到这一差别。展开仍按分配律进行：(i+j)²=i²+ij+ji+j²。按实数乘法的习惯，中间两项会合并成 2ij；在四元数里 ij=k、ji=−k，两项必须按原有次序分开保留。再代入 i²=j²=−1，得到 −1+k−k−1=−2。两个交叉项恰好抵消，原因是两种乘序给出了相反的结果。

这个算例让一种研究变化变得具体：推广数字系统时，可以保留某些运算法则，同时放弃另一些熟悉的性质。哈密顿随后继续发展这一理论，1844至1850年陆续发表相关论文，1853年出版《四元数讲义》。桥上的公式是开始，系统的定义、计算与解释还需要持续写出来。

史料：哈密顿给儿子与泰特的书信，都柏林圣三一学院数学史档案转录；四元数研究与论文目录。本文代数展开为依据乘法规则给出的算例。